UNIDAD 5 TRIGONOMÉTRIA ,NUMERROS COMPLEJOS , MATRICES

UNIDAD N°5 TRIGONOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA

RESEÑA HISTÓRICA 

El estudio de la Trigonometría lo inició Hiparco 150 años a. C. pero su historia se remonta a los egipcios y babilonios, primeros en medir ángulos.

Hiparco es considerado el padre de la Trigonometría por sus contribuciones tales como determinar la duración del año solar en 365 días y 6 horas, sentar las bases de la trigonometría, realizar el primer catálogo de estrellas (800) e inventar el primer astrolabio.

Tolomeo prosiguió los estudiosde Hiparco. Ordenó los conocimientos de los griegos sobre astronomía, afirma que la tierra es redonda, y entre otras cosas realizó cálculos astronómicos sin utilizar las funciones trigonométricas.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados de éste siglo Isaac Newton, utilizando series infinitas, encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos.

ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS 

-SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR

• Sistema Internacional:¹ Es un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados abarcan un arco de longitud igual al radio de la circunferencia; en este sistema se le conoce como medida angular unidad el radián, con abreviatura rad. Se utiliza en geometría, cálculos y análisis matemático, por ejemplo en sistema de coordenadas polar, etc.
• Sistema sexagesimal: Sistema de 360º, su unidad es el grado sexagesimal (º), cada grado a su vez se divide en 60 partes iguales llamados minutos (´), y estos a su vez se dividen en 60 partes iguales llamados segundos (")
• Sistema centesimal: Sistema de 400 grados, su unidad es el grado centesimal (^g).

-SEMIRRECTA

Es la parte de una recta

-ANGULO

Es la unión de dos semirrectas que se interceptan

una de las rectas se conoce como lado inicial al angulo y la otra recibe  el nombre de lado terminal.

  

La medida del angulo puede ser positiva o negativa 

Positiva

si  es el sentido contrario de las manecillas del reloj

Negativa 

A favor de las manecillas del reloj 

TIPOS DE ÁNGULOS 

Tipos de ángulos	Descripción
Ángulo agudo	un ángulo de menos de 90°
Ángulo recto	un ángulo de 90°
Ángulo obtuso	un ángulo de más de 90° pero menos de 180°
Ángulo llano	un ángulo de 180°
Ángulo reflejo o cóncavo	un ángulo de más de 180°

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 

Sea p(a,b)  un punto sobre la circunferencia de radio unitario  y X  el angulo en posición estándar que forma el segmento OP con el semieje ,X.   

Para las Funciones Trigonométricas, como se mencionó anteriormente, haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas.

Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras, las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los Ángulos del Triángulo.

Empezaremos a ver cada una de las Funciones:

1. Función Seno ( Sen): La Función Seno nos describe la relación existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

2. Función Coseno ( Cos): La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

3. Función Tangente ( Tan): Ésta Función nos representa la relación entre Lado adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:

4. Función Cotangente ( Cot): Que describe la relación entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:

5. Función Secante ( Sec): Relación entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:

6. Función Cosecante ( CsC): Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:

GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 

Si queremos representar en forma gráfica una función trigonométrica tomamos los valores de la variable independiente como abscisas y los valores de la función como ordenadas, obteniendo así una serie de puntos, los que al unirlos nos dará una línea que será la representación gráfica de la función.

Uso de la función seno: ésta se usa cuando en un triángulo rectángulo se conoce un ángulo agudo y el cateto opuesto, o un ángulo agudo y la hipotenusa, o el cateto  opuesto al ángulo dado.

Uso de la función coseno: si en un triángulo rectángulo conocemos un ángulo agudo y el cateto adyacente, o un ángulo agudo y la hipotenusa.

Uso de la función tangente: si en un triángulo rectángulo conocemos un cateto y el ángulo adyacente a él podemos calcular el otro cateto.

Uso de la función cotangente: por lo tanto en todo triángulo rectángulo si conocemos un cateto y su ángulo opuesto podemos calcular el valor del otro mediante ésta.

Uso de la función secante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario que en la función coseno.

Uso de la función cosecante: ésta se usa cuando se tiene lo contrario a la función seno.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 

DEFINICIÓN: Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran las funciones trigonométricas que son verdaderas para cada valor de las variables involucradas. Algunas de las identidades trigonométricas más comúnmente usadas se derivan del teorema de Pitágoras.

COCIENTE -RECIPROCAS  

PITAGORAS 

IDENTIDADES AUXILIARES 

NÚMEROS COMPLEJOS

RESEÑA HISTÓRICA 

Los números complejos es un tema que ha sido muy poco estudiado por los profesores 

las distintas etapas de la educación, tanto a nivel básico y diversificado como en la Universidad. Al comenzar a estudiar los números complejos, nos damos cuenta que es un sistema muy importante por integrar varias ramas de la matemática como lo son la trigonometría, la geometría y el álgebra, entonces resulta bastante interesante indagar un poco más acerca de este tema, comenzando por su historia.

Isaac Asimov, en su libro “De los números y su historia”, relata una historia en la que un profesor de Sociología en su clasificación de la humanidad agrupó a los matemáticos entre los místicos junto con los poetas y los teólogos, ya que para él los matemáticos son místicos porque creen en números que no tienen realidad, para explicarlo dijo lo siguiente, “La raíz cuadrada de menos uno. No tiene existencia. Los matemáticos lo llaman imaginario. Pero de alguna manera mística creen que tiene alguna clase de existencia”. Pero la verdad es que no hay nada de místico en ellos, son tan reales como cualquier otro.

Los números complejos aparecieron muy temprano en las matemáticas, pero fueron ignorados, por ser para la mayoría un poco extraños y difíciles de representar. Al comienzo los hombres solamente aceptaban los números naturales por ser los más adecuados para contar objetos que comúnmente se consideran como unidades. Pero al medir magnitudes como la longitud o el peso, las fracciones se hicieron imprescindibles. Los egipcios y babilonios se las arreglaron para elaborar métodos que les permitieron operar con fracciones. Pero los griegos descubrieron que habían cantidades definidas que no podían ser expresadas como cocientes de números enteros, la noción de número extiende más allá, ya que los griegos no aceptaban que hubieran números menores que el cero. Los números complejos aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos los cuales no poseen soluciones reales. Los matemáticos griegos que conocían métodos geométricos de resolución, consideraban estos problemas irresolubles, rechazaban el uso de números negativos por la falta de un equivalente dentro de la geometría que para ese momento era el centro de la matemática. El surgimiento de los números complejos no se debió solo a la imposibilidad de resolver algunas ecuaciones cuadráticas, sino que viene también de las ecuaciones cúbicas. Más adelante con el surgimiento del álgebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplía para manipular ecuaciones, desligadas de la geometría.

Se considera al matemático árabe Al-Khwarizmi como el padre del Álgebra, fue el autor de un libro titulado al-jabr, publicado en el año 830 d.c. Este libro fue de gran influencia por recoger todas las técnicas conocidas hasta entonces sobre la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado. Traducido al latín por Gerardo de Cremona, se utilizó en las universidades europeas hasta el siglo XVI. 

DEFINICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS 

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. 

UNIDAD IMAGINARIA 

En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo:  es un número imaginario, así como  o  son también números imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :^1 2 3

 Todo número imaginario puede ser escrito como  donde  es un número real e  es la unidad imaginaria, con la propiedad

,

POTENCIAS  

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

FORMA RECTANGULAR DE UN NUMERO COMPLEJO 

Forma rectangular= z=a+bi

CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO 

OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS 

-SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS

La suma de números complejos se realiza sumando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a+ bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Propiedades de la suma

La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa, asociativa, distributiva y elemento neutro.

Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4

Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4)

Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al número original. Por ejemplo 5 + 0 = 5.

Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3

-RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS

La diferencia de números complejos se realiza restando partes reales e imaginarias entre sí (se resuelve de la misma forma que la suma)

( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

-MULTIPLICACIÓN ENTRE NÚMEROS COMPLEJO

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

-DIVISIÓN  DE UN  NÚMERO COMPLEJO

MATRICES

RESEÑA HISTORICA  

HISTORIA DE LAS MATRICES

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. SylvesterEl desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...

CLASES DE MATRICES  

DEFINICIÓN DE MATRICES 

  Una matriz es un arreglo de números reales distribuidos en filas(donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz)  y columnas,(es cada una de las líneas verticales de la matriz). cual están encerrados en paréntesis o corchetes.  Las matrices generalmente se denotan con letras mayúsculas.

Ejemplos:

                         

CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE LAS MATRICES

MATRIZ FILA:Una matriz fila está constituida por una sola fila pero varias columnas y su orden es 1xn

Ej A= 1X4 (2 3 5 2)

 MATRIZ COLUMNA: Esta formada por una sola columna pero varias filas y su orden es nx1

Ej K=4X1 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

MATRIZ RECTANGULAR: tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

 

                                                                                                                                                                                                                                

MATRIZ CUADRADA: tiene el mismo número de filas que de columnas es decir nxm   m=n.

                                           A= 3x3

CONCEPTOS ASOCIADOS 

DIAGONAL PRINCIPAL: Los elementos de la forma a i j constituyen la diagonal principal donde i=j.

A=4x4

DIAGONAL SECUNDARIA:forman los elementos con i+j=n+1

A=4X4

LA TRAZA: Es la suma de los elementos de la diagonal principal y se denota.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR : Es una matriz cuadrada que tiene  los elementos situados por debajo de la diagonal principal son iguales a ceros esto es a,i,j=0 si es mayor a J.

S=3x3

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:  Es una matriz cuadrada  que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal igual a 0 si i<1

H =4x4

MATRIZ NULA: Es una matriz en las que todo los elementos son iguales a 0 y se lo representa 

omxn

A=3X3

MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y  abajo de la diagonal principal= 0

a, i, j= i ≠ j

MATRIZ ESCALAR: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus  elementos sobre y bajo la diagonal principal igual a cero y los elementos de la diagonal principal son iguales entre si.

A=3x3

MATRIZ IDENTIDAD: Es una matriz cuadrada que tiene sus elementos iguales a cero excepto los de la diagonal principal que son iguales a uno y se denota Imxn.

^{OPERACIONES ENTRE MATRICES} 

^{SUMA ENTRE MATRICES}

 Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij).La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

DIFERENCIA ENTRE MATRICES 

 Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz resta como A-B=(a_ij+b_ij).La matriz resta se obtienen restando  los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR 

Dada una matriz A=(a_ij) y un número real kR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES 

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

POTENCIA ENTRE MATRICES 

IGUALDAD ENTRE MATRICES 

Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la primera es igual al elemento de la segunda que ocupa su misma posición. Es decir:

M_m,n  

DETERMINANTES 

MÉTODOS PARA ENCONTRAR LA DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 

El determinante de una matriz suele utilizarse con frecuencia en operaciones de cálculo, álgebra lineal y geometría descriptiva a un nivel más complejo. Fuera del mundo académico, los ingenieros y los programadores gráficos utilizas las matrices y sus determinantes constantemente.^[1] Si sabes cómo hallar el determinante de una matriz de 2x2, las únicas herramientas que tendrás que utilizar serán la suma, la resta y la multiplicación.